Integral

Nedoločeni integral

Funkcija $F$ je nedoločeni integral funkcije $f$, če velja: $F^{\prime }(x)=f(x)$ - odvod integrala je osnovna $f$
Nedoločeni integral je na vsakem intervalu določen do konstante natančno: $(f(x)+C{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$ (glej pravila odvajanja) $\to$ oba $f(x)$ in $f(x)+C$ sta nedoločena inetgrala

Osnovni integrali in pravila nedoločenega integriranja

$$\begin{array}{rl}\int adx& =ax+C\\ \int x^{n}dx& =\{\begin{array}{l}\frac{x^{n+1}}{n+1}+C;n\ne -1\\ ln|x|+C;n=-1\end{array}\\ \int a^{x}dx& =\frac{a^x}{lna}+C\\ \int sinxdx& =-cosx+C\\ \int cosxdx& =sinx+C\\ \int lo{g}_{a}xdx& =xlo{g}_{a}x-\frac{x}{lna}+C\end{array}$$

• Linearnost: $\int (f(x)+\alpha \ast g(x))dx=\int f(x)dx+\alpha \ast \int g(x)dx$
• Vpeljava nove spremenljivke
• Integriranje po delih - per partes: $\int udv=uv-\int vdu$
• Parcialni ulomki: $\frac{Ax+B}{(x-a)(x-b)}=\frac{\alpha }{(x-a)}+\frac{\beta }{(x-b)}$ … izrazi $\alpha$ in $\beta$ kot dela originalne funkcije in novo vsoto ulomkov vnesi v originalen integral
• Taylorjeva vrsta: na območju konvergence Taylorjeve vrste lahko vrsto členoma integriramo

Določeni integral

Riemannova vsota: $I_n={\sum }_{i=1}^n{\Delta }_{n}x;x\in [a+(i-1){\Delta }_{n}x,a+i{\Delta }_{n}x]$
Določen integral funkcije $f$ na intervalu $[a,b]$: $li{m}_{n\to \infty }{I}_n={\int }_a^{b}f(x)dx$
Funkcija $f$ je integrabilna $⟺$ obstaja določeni integral
Vsaka zvezna funkcija je integrabilna

Pravila določenega integriranja

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^b(\alpha \ast f(x)+g(x))dx& =\alpha \ast {\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx\\ {\int }_a^{b}f(x)dx& =-{\int }_b^{a}f(x)dx\\ {\int }_a^b|f(x)|dx& \ge |{\int }_a^{b}f(x)dx|\\ {\int }_a^{b}f(x)dx& ={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx\\ \text{f liha}& ⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0\\ \text{f soda}& ⟹{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2\ast {\int }_0^{a}f(x)dx\\ \mu (f)& =\frac{1}{b-a}\ast {\int }_a^{b}f(x)dx\end{array}$$

Newton-Leibnitzova formula: $F$ … nedoločeni integral $f$

$${\int }_{\alpha }^{\beta }(x)dx=F(\beta )+c-(F(\alpha )+c)=F(\beta )-F(\alpha )$$

Prostornina vrtenine

Prostornina: $V=\pi \ast {\int }_a^b{f}^2(x)dx$
Površina plašča: $P=\pi \ast {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+(f^{\prime }(x){)}^2}dx$
Dolžina krivulje: $l(\gamma )={\int }_a^b||{\gamma }^{\prime }(t)||dt$

Posplošeni integral

Integral do pola: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{t\searrow a}{\int }_t^{b}f(x)dx$
Integral v neskončnosti: ${\int }_a^{\infty }f(x)dx={\lim }_{t\nearrow \infty }{\int }_a^{t}f(x)dx$