Signali in sistemi

TODO-EXAMPLES TODO-LINKS FOURIEROVA TRANSORMACIJA V PRAKSI ZA SIGNALE

Invariantnost sinusoid

Vhodni signal:

$$x(t)=Asin(2\pi \nu t+\Theta )$$

se pri prehodu skozi medij popači v izhodni signal: drugačna amplituda $A$ in/ali faza $\Theta$; a ohranja frekvenco $\nu$

Fourierova vrsta in transformacija

Vsako periodično funkcijo lahko zapišemo kot kombinacijo sinusoid, nakar lahko obravnavamo obnašanje posameznih sinusoid in združimo ločene rezultate

Fourierova vrsta

$sin(t)$ ima periodo $T=2\pi$ $\to$ $sin(\frac{2\pi t}{T})$ ima periodo $T$ in frekvenco ${\nu }_0=\frac{1}{T}$

$${\omega }_0=2\pi {\nu }_0=\frac{2\pi }{T}$$

Višji harmoniki sinusoide s frekvenco ${\nu }_0$ so sinusoide s frekvencami večkratniki osnovne frekvence
Vsako periodično funkcijo $x(t)$ s periodo $T$ lahko zapišemo kot:

$$x(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\ast cos(n{\omega }_{0}t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\ast cos(n{\omega }_{0}t)$$ $$a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}x(t)dt$$ $$a_m=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}x(t)\ast cos(m{\omega }_{0}t)dt$$ $$b_m=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}x(t)\ast sin(m{\omega }_{0}t)dt$$

ali z uporabo Eulerjeve formule:

$$x(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\ast e^{in{\omega }_{0}t}$$ $$c_m==\frac{1}{T}{\int }_0^{T}x(t)\ast e^{-im{\omega }_0}$$

Zdaj združimo oba zapisa:

$$x(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n\ast (cos(n{\omega }_{0}t)+isin(n{\omega }_{0}t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\ast (cos(n{\omega }_{0}t)+isin(n{\omega }_{0}t)$$

Fourierova tranformacija

Fourierovo vrsto poslošimo s periodo $T\to \infty$: vsaka funkcija ima lahko periodo v neskončnosti
FT:

$$x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }X(\nu )\ast e^{i2\pi \nu t}$$

IFT:

$$X(\nu )={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t)\ast e^{-i2\pi \nu t}$$

Lastnosti Fourierove transformacije:

• linearnost: $f(t)=ax(t)+by(t)\to F(\nu )=aX(\nu )+bY(\nu )$
• skaliranje: $f(t)=x(at)\to F(\nu )=\frac{1}{|a|}X(\frac{1}{a}\nu )$
• premik: $f(t)=x(t-t_0)\to F(\nu )=e^{-i2\pi \nu t_0}\ast X(\nu )$
• modulacija: $f(t)=e^{i2\pi t{\nu }_0}\ast x(t)\to F(\nu )=X(\nu -{\nu }_0)$
• konvolucija: $f(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )y(\tau )d\tau \to F(\nu )=X(\nu )Y(\nu )$

Resonanca

Do resonance pride, ko je frekvenca vsiljenega nihanja enaka frekvenci lastnega nihanja $\to$ pride do ojačitve aplitud

Modulacija in frekvenčni premik

$$sin(2\pi {\nu }_{1}t)sin(2\pi {\nu }_{2}t)=\frac{1}{2}[cos(2\pi ({\nu }_1-{\nu }_2)t)-cos(2\pi ({\nu }_1+{\nu }_2)t)]$$ $$cos(2\pi \nu t)=sin(2\pi \nu t+\frac{\pi }{2})$$

Produkt sinusiod z različnima frekvencama lahko pretvorimo v vsoto sinusoid $\to$ hkraten prenos več signalov po istem mediju

Energija signala

Parsevalov teorem:

$$E={\int }_{-\infty }^{\infty }x(t{)}^{2}dt={\int }_{-\infty }^{\infty }X(\nu {)}^{2}f\nu$$

Teorem vzorčenja

Diskreten signal je definiran le ob točkah vzorčenja $x_k=x(k\ast \Delta )$, pri čemer je $\Delta$ perioda vzorčenja
Za zajemanje signalov z računalniki se uporabljajo ADC (Analog Digital Converter) pretvorniki, ki imajo končno natančnost - signal po kvantizaciji opišemo s končno mnogo aplitudami po shemi USB (Unipolar Straight Binary):

Pretvorba analogno v digitalno:

$$b=min(\lfloor \frac{x}{x_{FS}}\ast 2^n+\frac{1}{2}\rfloor ,2^n-1)$$

Pretvorba digitalno v analogno:

$$x=\frac{b}{2^n}\ast x_{FS}\pm \frac{x_{FS}}{2^{n+1}}$$

Kako pogosto vzorčiti, da ne izgubimo informacij? $\to$ ${\nu }_c$ … najvišja opažena frekvenca v signalu $⟹$ $2{\nu }_c$ … potrebna frekvenca vzorčenja

Diskretna Fourierova transformacija

DFT:

$$X_n=\sum _{k=0}^{N-1}{x}_k\ast e^{-i2\pi nk/N}$$

IDFT:

$$X_n=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}{x}_k\ast e^{i2\pi nk/N}$$

Diskretna različica Parsevalovega teorema:

$$\sum _{k=0}^{N-1}|x_k{|}^2=\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}|x_n{|}^2$$