Sklepanje z Bayesovskimi mrežami

Bayesovske mreže

Bayesovske mreže: verjetnostni model za predstavitev odvisnosti med slučajnimi spremenljivkami, iz katerega sklepamo na verjetnost resničnosti spremenljivke ob upoštevanju danih (ne)odvisnosti
Predstavitev z usmerjenim acikličnim grafom:

• vozlišča … slučajne spremenljivke (dejstva, hipoteza)
• povezave … odvisnosti med spremenljivkami (vpliv starša na naslednika)

Stanje sveta povzamemo z vektorjem logičnih spremenljivk
Za opis stanja z $n$ spremenljivkami bi morali poznati popolno verjetnostno porazdelitev $\to$ $2^n-1$ možnih stanj $\to$ nepraktično za veliko št. spremenljivk

Pogojne verjetnosti

Problem lahko opredelimo le s pogojnimi verjetnostmi, zaradi česar lahko podamo manj podatkov kot s popolno verjetnostno porazdelitvijo

Izračun verjetnosti dogodka

S pogojnimi verjetnostmi preprosteje izračunamo verjetnost dogodka iz popolne verjetnostne porazdelitve

Neodvisne spremenljivke (ki niso starši iskane spremenljivke) lahko izpustimo iz konjunkcije pogojnih spremenljivk:

$$P(X_1{X}_2...X_n)=\prod _{i=1}^{n}P(X_i/star\check{s}i(X_i))$$

Verjetnostno sklepanje

Upoštevanje evidence: podane informacije o resničnih dogodkih lahko vpliva na verjetnosti ostalih dogodkov v mreži
2 smeri sklepanja:

• vzročno: od vzrokov k posledicam
• diagnostično: od posledic k vzrokom

Odvisnosti v mreži

Skupni prednik (divergentno vozlišče)

Odvisnost naslednikov - če vemo za resničnost enega, to vpliva na verjetje drugega
Vendar poznavanje resničnosti prednika omogoči neodvisno obravnavanje naslednikov

Skupni naslednik (konvergentno vozlišče)

Neodvisnost predhodnikov - če vemo za resničnost enega, to ne vpliva na verjetje drugega
Vendar poznavanje resničnosti naslednika omogoči odvisno obravnavanje prednikov

Veriga

Odvisnost predhodnika in prednika - le vemo za resničnost enega, to vpliva na verjetje drugega
Vendar poznavanje resničnosti vmesnega vozlišča omogoči neodvisno obravanje predhodnika in naslednika

Določanje neodvisnosti v Bayesovski mreži

Neodvisnost od nenaslednikov

Vozlišče je neodvisno samo od svojih predhodnikov staršev, če:

• so podani vsi starši in
• so podani samo starši

Ovojnica Markova

Vozlišče je neodvisno od vseh ostalih vozlišč, če so podani starši, otroci in starši otrok (sorojenci)

d-ločevanje

Vozlišči sta neodvisni, če obstaja množica vozlišč $E$, ki d-ločuje (blokira odvisnost) med njima
Posledica: $P(A/EB)=P(A/E)$
Množica $E$ ločuje vozlišči, če na vsaki poti med vozliščema obstaja takšno vozlišče, ki pot blokira
Blokirajoče vozlišče:

• $X$ je divergentno vozlišče: iz njega kažeta povezavi na vozlišča $⟹$ $X\in E$
• $X$ je zaporedno vozlišče: veriga $⟹$ $X\in E$
• $X$ je konvergentno vozlišče: vanj kažeta povezavi iz vozlišč $⟹$ $X\cup X-ovinasledniki\notin E$