Kompleksna števila

Kompleksna števila: $\mathbb{C}=\{a+bi;a,b\in \mathbb{R}\}$

• $i=\sqrt{-1}$
• $a$ - realni del imaginarnega števila $Re(z)$
• $b$ - imaginarni del imaginarnega števila $Im(z)$

Operacije

• Konjugiranje: $x=a+bi\to \bar{x}=a-bi$
• Seštevanje: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• Množenje: $(a+bi)\ast (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• Deljenje: (pomnožimo števec in imenovalec s konjugirano vrednostjo imenovalca)

Lastnosti:

• $|z|=|\bar{z}|$
• $\overline{\stackrel{ˉ}{z}}=z$
• $|z_1\ast z_2|=|z_1|\ast |z_2|$
• $\overline{z_1\ast z_2}={\bar{z}}_1\ast {\bar{z}}_2$
• $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$
• $\overline{z_1+z_2}={\bar{z}}_1+{\bar{z}}_2$
• $|z_2-z_1|$ … razdalja med $z_1$ in $z_2$

Načini zapisa

Kartezični zapis: $z=x+yi;x,y\in \mathbb{R}$
Polarni zapis:

$$\begin{array}{rl}z& =|z|\ast (cos(\phi )+i\ast sin(\phi ))\\ & =|z|\ast e^{i\phi }\end{array}$$

• $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ … razdalja do $0$
• $\phi =arctan\frac{y}{x}(+\pi )$ … kot ($\pi$ dodamo v $3.$ in $4.$ kvadrantu)
• $e^{i\phi }$ … enotska krožnica

Množenje v polarnem zapisu:
$z_1=|z_1|\ast (cos{\phi }_1+i\ast sin{\phi }_1)$, $z_2=|z_2|\ast (cos{\phi }_2+i\ast sin{\phi }_2)$:
$z_1\ast z_2=...=|z_1|\ast |z_2|\ast e^{i({\phi }_1+{\phi }_2)}$

Eulerjeva formula: $e^{i\phi }=cons\phi +i\ast sin\phi$

Za $\pm$ se splača uporabljati kartezični zapis, za množenje in korenjenje pa polarni zapis

Operacije v polarnem zapisu:

• Konjugiranje: $\bar{z}=\overline{r\ast e^{i\phi }}=r\ast e^{-e\phi }$
• Potenciranje - De Moivre: $z^n=(r\ast e^{i\phi }{)}^n=r^n\ast e^{in\phi }$
• Deljenje: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1\ast e^i{\phi }_1}{r_2\ast e^i{\phi }_2}=\frac{r_1}{r_2}\ast e^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}$

Operacije v ravnini:

• Zrcaljenje preko $Re$: $z\mapsto \bar{z}$
• Zrcaljenje preko $0$: $z\mapsto -z$
• Razteg za faktor r: $z\mapsto z\ast r$
• Premik za $z_0$: $z\mapsto z+z_0$
• Vrtenje za kot $\phi$: $z\mapsto z\ast e^{i\phi }$

Korenjenje:
Koreni enote: rešitve $z^n=1$, rešitev je $n$ in tvorijo pravilni $n$-kotnik
$n$-ti koreni enote:

$$\begin{array}{rl}{z}_n& =e^{i\frac{2k\pi }{n}}\\ w_i& =\sqrt[n]{r}\ast e^{i\frac{\phi +2k\pi }{n}}\end{array}$$