Zaporedja, vrste, limite

Zaporedja

Zaporedje: preslikava $\mathbb{N}\mapsto \mathbb{R}$ oz. $n\mapsto a_n$

$$(a_n{)}_n=(a_1,a_2,...)$$

Podajanje zaporedij:

• eksplicitno: $a_n=f(n);f:\mathbb{N}\mapsto \mathbb{R}$
• rekurivno: $a_{n+k}=f(a_n,a_{n+1},...,a_{n+k})$

Collatzeva domneva / domneva 3n+1

Za poljubno pozitivno celo število sta na voljo dve operaciji:

• če je število sodo, se ga deli z 2
• če je število liho, se ga pomnoži s 3 in prišteje 1

Domneva se glasi: tako določeno zaporedje so bo končalo s številom 1, ne glede katero je izbrano prvo število
Še do zdaj ni rešena
Več: YT - Veritasium

Aritmetično zaporedje: $a_n=a_0+n\ast d;a_0,d\in \mathbb{R}$
Geometrijsko zaporedje: $a_n=a_0\ast q^n;a_0,d\in \mathbb{R}$

Zaporedje je: (podobno kot pri številskih množicah)

• navzgor omejeno: obstaja zgornja meja, najmanjša zgornja meja je supremum $sup(a_n)$
• navzdol omejeno: obstaja spodnja meja, največja spodnja meja je infimum $inf(a_n)$
• omejeno: je omejeno navzgor in navzdol
• (strogo) naraščajoče: $a_{n+1}(\ge )>a_n$
• (strogo) padajoče: $a_{n+1}(\le )<a_n$
• monotono: je naraščajoče ali padajoče

Limite in konvergenca

${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=a$ : $a\in \mathbb{R}$ je limita zaporedja $(a_n{)}_n$, če $\forall ϵ>0\exists N\in \mathbb{R}:|a_n-a|<ϵ,\forall n\ge N$

Konvergentno zaporedje: ima limito
Divergetno zaporedje: nima limite
Vsako konvergentno zaporedje je omejeno
Izreki o konvergenci:

1. $\forall n\in N:a_n\le b_n\le c_n,{\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=a⟹{\lim }_{n\to \infty }{b}_n=a$
2. naraščajoče zaporedje $a_n$ limitira v $sup(a_n)$, če je navzgor omejeno, sicer limitira v $\infty$
3. padajoče zaporedje $a_n$ limitira v $inf(a_n)$, če je navzdol omejeno, sicer limitira v $-\infty$

Primer:

$$\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$$

Zaporedje:

• narašča preko vsake meje: $\forall M\in \mathbb{R}\exists N\in \mathbb{R}:a_n>M,\forall n\in N$ oz. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\infty$
• pada pod vsako mejo: $\forall m\in \mathbb{R}\exists N\in \mathbb{R}:a_n<m,\forall n\in N$ oz. ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=-\infty$

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^a=\{\begin{array}{ll}\infty & ;a>0(divergirav\infty )\\ 1& ;a=0(konvergira)\\ 0& ;a<0(konvergira)\\ divergira& ;sicer\end{array}$$

• Seštevanje: ${\lim }_{n\to \infty }(a_n+b_n)=a+b$
• Množenje: ${\lim }_{n\to \infty }(a_n\ast b_n)=a\ast b$

Vrste

Vrsta: simbolična vsota realnih števil $a_1+a_2+...={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n;a_n\in \mathbb{R}$
$m$-ta delna vsota $S_m=a_1+a_2+...+a_m={\sum }_{n=1}^m{a}_n$

Konvergentna vrsta: zaporedje $(S_m{)}_n$ konvergira $⟹$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }={\lim }_{m\to \infty }{a}_m$
Če vrsta konvergira, potem grejo členi proti 0.
Obrat trditve n velja - harmonična vrsta: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ = … (dokaz divergence) … = $\infty$

Geometrijska vrsta:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_0\ast q^n=a_0\ast (q+q^2+...)=\{\begin{array}{ll}\frac{a_0}{1-q}& ;|q|<1\\ divergira& ;sicer\end{array}$$

Računanje konvergence

Računanje vrst: naj bosta ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ in ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ konvergentni.
Tedaj sta konvergentni:

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_n+b_n)={\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n+{\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$
• ${\sum }_{n=1}^{\infty }c\ast a_n=c\ast {\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$

Dominiranje vrst: naj vrsta ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ dominira vrsto ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ : $a_n\ge b_n;\forall n\in \mathbb{N}$
Tedaj:

• ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ konvergira $⟹$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ konvergira (če je omejena večja vrsta, bo tudi manjša)
• ${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n$ divergira $⟹$ ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ divergira (če je neomejena manjša vrsta, bo tudi večja)

Konvergenčni kriteriji

1. Kvocientni kriterij: $L={\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}$
   • $L<1⟹$ vrsta ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ konvergira
   • $L>1⟹$ vrsta ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ divergira
2. Korenski kriterij: $L={\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{a_n}$
   Tedaj:
   • $L<1⟹$ vrsta ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ konvergira
   • $L>1⟹$ vrsta ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ divergira
3. Leibnitzov kriterij: naj $a_n$ pada proti $0$
   Tedaj ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{a}_n$ konvergira