Števila, indukcija, absolutna vrednost

Števila

Naravna števila: $\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$
Cela števila: $\mathbb{Z}=\{...,-2,-1,0,1,2,...\}$
Racionalna števila: $\mathbb{Q}=\{\frac{p}{q};p,q\in \mathbb{Z}\wedge q\ne 0\}$
Realna števila: $\mathbb{R}$ predstavljajo vse točke na številski premici
Iracionalna števila: $\{\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\}$ (npr. $\sqrt{2},\pi ,e,...$)

Naj bo $A\subset \mathbb{R},A\ne \varnothing$:
$A$ je navzdol omejena, če obstaja zgornja meja za $A$: $M\in \mathbb{R}:M\ge a;\forall a\in A$

• Supremum $sup(A)$: najmanjša zgornja meja omejene množice
  Maksimum $max(A)$: supremum znotraj množice $A$

$A$ je navzgor omejena, če obstaja spodnja meja za $A$: $m\in \mathbb{R}:m\le a;\forall a\in A$

• Infimum $inf(A)$: največja spodnja meja omejene množice
  Minimum $min(A)$: infimum znotraj množice $A$

Indukcija

Princip indukcije: Za $A\subseteq \mathbb{N}$ naj velja:

1. $n_0\in A$
2. $\forall k\in \mathbb{N}:k\in A⟹k+1\in A$

Tedaj torej velja $A=\{n_0,n_1,...\}$

Shema uporabe:
Radi bi dokazali trditev $T(n)$ za $\forall n\in \mathbb{N}$

1. Dokažemo bazo indukcije: dokažemo $T(prvi\check{c}len)$
2. Dokažemo indukcijski korak: predpostavimo $T(k)$ in izpeljemo $T(k+1)$

Absolutna vrednost

Absolutna vrednost $x\in \mathbb{R}$: oddaljenost $x$ od $0$:

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x& ;x\ge 0\\ -x& ;x<0\end{array}$$