Izjave

Izjava: stavek, ki je bodisi resničen bodisi neresničen - ima logično vrednost

• Delitev po vsebini: resnične / neresnične
• Delitev po obliki: osnovne (npr. “Sije sonce”) / sestavljene (npr. “Peter je zunaj in sije sonce”)

Izjavni vezniki

Enomestni (ne) / Dvomestni (in, ali, če … potem …, niti … niti …)

Izjavni konstanti: 0 in 1
Izjavne spremenljivke: p, q, r označujejo osnovne izjave

Resničnostna tabela: tabela logičnih vrednosti izjavnega izraza za vse nabore logičnih vrednosti izjavnih spremenljivk

Negacija: $\neg$
Konjunkcija: $\wedge$
Disjunkcija: $\vee$
Implikacija: $⟹$
Ekvivalenca: $⟺$
Eksplozivna disjunkcija: $⊻$
Shefferjev veznik: $\uparrow$
Pierce-Lukasiewiczev veznik: $\downarrow$

$P$	$Q$	$\neg P$	$P\wedge Q$	$P\vee Q$	$P⟹Q$	$P⟺Q$	$P⊻Q$	$P\uparrow Q$	$P\downarrow Q$
T	T	F	T	T	T	T	F	F	F
T	F	F	F	T	F	F	T	T	F
F	T	T	F	T	T	F	T	T	F
F	F	T	F	F	T	T	F	T	T

Dogovor o prioriteti operatorjev:

$$\neg <\wedge ,\uparrow ,\downarrow <\vee ,⊻<⟹<⟺$$

Tavtologija: izjavni izraz, ki je resničen pri vseh naborih logičnih vrednosti vsebovanih izjavnih spremenljivk (npr. "$1$", "$p\vee \neg p$", "$p⟹(q⟹p)$")
Protislovje: izjavni izraz, ki je neresničen pri vseh naborih logičnih vrednosti vsebovanih izjavnih spremenljivk (npr. "$0$", "$p\wedge \neg p$")

Enakovredna izjavna izraza:

• pri vseh naborih logičnih vrednosti izjavnih spremenljivk imata enako vrednost
• izraz $A⟺B$ je tavtologija

Zakoni izjavnega računa

1. Zakon dvojne negacije:

$$\begin{array}{rl}\neg \neg A& \sim A\end{array}$$

2. Idempotenca:

$$\begin{array}{rl}A\wedge A& \sim A\\ A\vee A& \sim A\end{array}$$

3. Komutativnost:

$$\begin{array}{rl}A\wedge B& \sim B\wedge A\\ A\vee B& \sim B\vee A\\ A⟺B& \sim B⟺A\end{array}$$

4. Asociativnost:

$$\begin{array}{rl}(A\wedge B)\wedge C& \sim A\wedge (B\wedge C)\\ (A\vee B)\vee C& \sim A\vee (B\vee C)\\ (A⟺B)⟺C& \sim A⟺(B⟺C)\end{array}$$

5. Absorpcija:

$$\begin{array}{rl}A\wedge (A\vee B)& \sim A\\ A\vee (A\wedge B)& \sim A\end{array}$$

6. Distributivnost:

$$\begin{array}{rl}(A\vee B)\wedge C& \sim (A\wedge C)\vee (B\wedge C)\\ (A\wedge B)\vee C& \sim (A\vee C)\wedge (B\vee C)\end{array}$$

7. de Morganova zakona:

$$\begin{array}{rl}\neg (A\vee B)& \sim \neg A\wedge \neg B\\ \neg (A\wedge B)& \sim \neg A\vee \neg B\end{array}$$

8. Kontrapozicija:

$$\begin{array}{rl}A⟹B& \sim \neg B⟹A\end{array}$$

9. Lastnosti 0 in 1:

$$\begin{array}{rl}A⟹A& \sim 1\\ A⟺A& \sim 1\\ A\vee \neg A& \sim 1\\ A\wedge \neg A& \sim 0\end{array}$$

10. Še lastnosti 0 in 1:

$$\begin{array}{rl}A\wedge 0& \sim 0\\ A\vee 0& \sim A\\ A\wedge 1& \sim A\\ A\vee 1& \sim 1\\ A⟹0& \sim \neg A\\ 0⟹A& \sim 1\\ A⟹1& \sim 1\\ 1⟹A& \sim A\end{array}$$

11. Lastnosti implikacije:

$$\begin{array}{rl}A⟹B& \sim \neg A\vee B\\ \neg (A⟹B)& \sim A\wedge \neg B\end{array}$$

12. Lastnosti ekvivalence:

$$\begin{array}{rl}A⟺B& \sim (A⟹B)\wedge (B⟹A)\\ A⟺B& \sim (A\wedge B)\vee (\neg A\wedge \neg B)\\ \neg (A⟺B)& \sim \neg A⟺B\end{array}$$

13. Ekskluzivna disjunkcija:

$$\begin{array}{rl}A⊻B& \sim \neg (A⟺B)\\ A⊻B& \sim B⊻A\\ (A⊻B)⊻C& \sim A⊻(B⊻C)\end{array}$$

14. Shefferjev veznik:

$$\begin{array}{rl}A\uparrow B& \sim \neg (A\wedge B)\\ A\uparrow B& \sim B\uparrow A\end{array}$$

15. Pierceov veznik:

$$\begin{array}{rl}A\downarrow B& \sim \neg (A\vee B)\\ A\downarrow B& \sim B\downarrow A\end{array}$$

Dualne zakone dobimo z zamenjavo konjunkcije in disjunkcije ter 0 in 1 v (večini) zakonov

Izraz $A_1⊻A_2⊻...⊻A_n$ je (ne glede na postavitev oklepajev) resničen, ko je liho mnogo členov resničnih.

Osnovne normalne oblike

Osnovna konjunkcija/disjunkcija: konjunkcija/disjunkcija izjavnih spremenljivk in/ali njihovih negacij
Disjunktivna Normalna Oblika (DNO): disjunkcija osnovnih konjunkcij
Konjunktivna Normalna Oblika (KNO): konjunkcija osnovnih disjunkcij
Vsak izjavni izraz ima DNO in KNO

Polnost nabora izjavnih veznikov

Poln nabor izjavnih veznikov: družina izjavnih veznikov N, če za vsak izjavni izraz A obstaja enakovreden izjavni izraz B, ki vsebuje samo veznike iz N.
Primeri: {$\neg ,\wedge ,\vee$}, {$\neg ,\wedge$}, {$\neg ,\vee$}, {$\neg ,⟹$}, {$0,⟹$}, {$\uparrow$}, {$\downarrow$}
Dokaz polnosti nabora izjavnih veznikov: vsak veznik iz že znanega polnega nabora izrazimo samo z uporabo veznikov testiranega nabora

Sklepanje v izjavnem računu

Pravilen sklep: Zaporedje izjavnih izrazov $A_1,A_2,...,A_n,B$ s predpostavkami $A_1,A_2,...,A_n$ in zaključkom $B$, če je zaključek $B$ resničen pri vseh naborih vrednosti izjavnih spremenljivk, pri katerih so resnične vse predpostavke
Izrek: $A_1,A_2,...,A_n\models B⟺(A_1,A_2,...,A_n)⟹Bjetavtologija$

Nepravilen sklep dokažemo s protiprimerom - podamo nabor vrednosti izjavnih spremenljivk, pri katerem so vse predpostavke resnične in zaključek neresničen

Pravila sklepanja

Modus Ponens (MP): $A,A⟹B\models B$
Modus Tollens (MT): $A⟹B,\neg B\models \neg A$
Hipotetični silogizem (HS): $A⟹B,B⟹C\models A⟹C$
Disjunktivni silogizem (DS): $A\vee B,\neg A\models B$
Združitev (Zd): $A,B\models A\wedge B$
Poenostavitev (Po): $A\wedge B\models A,B$
Pridružitev (Pr): $A\models A\vee B$

Pravilnost sklepa dokažemo tako, da sestavimo zaporedje izjavnih izrazov, za vsak člen pa velja:

1. $C_i$ je ena od predpostavk
2. $C_i$ je tavtologija
3. $C_i$ je enakovreden enemu od predhodnih izrazov v zaporedju
4. $C_i$ logično sledi iz predhodnih izrazov po enem od osnovnih pravil sklepov

Pogojni sklep (PS): uporabljamo, kadar ima zaključek sklepa obliko implikacije

$$A_1,A_2,...,A_k\models B⟹Cn.t.ko{A}_1,A_2,...,A_k,B\models C$$

Sklep s protislovjem (RA): lahko uporabljamo kadarkoli

$$A_1,A_2,...,A_k\models Bn.t.ko{A}_1,A_2,...,A_k,\neg B\models 0$$

Analiza primerov (AP): lahko uporabljamo, kadar ima ena od predpostavk obliko disjunkcije

$$A_1,A_2,...,A_k,B_1\vee B_2\models Cn.t.ko{A}_1,A_2,...,A_k,B_1\models Cin{A}_1,A_2,...,A_k,B_2\models C$$