Boolova algebra

Postulati - aksiomi: nedokazljive osnovne predpostavke, iz katerih je možno izpeljati vse zakone matematičnega sistema

Postulati Boolovih operatorjev

(Podobno kot pri izjavnih veznikih):

• Zaprtost: za vsak par elemntov iz množice S dobimo ob aplikaciji operatorja element, ki je prav tako iz S

$$\begin{array}{rl}x,y\in X& \to x\vee y\in X\\ x,y\in X& \to xy\in X\end{array}$$

• Nevtralni element $e$: velja $e\ast x=x\ast e=x$

$$\begin{array}{rl}x,0\in X& \to x\vee 0=x\\ x,1\in X& \to x1=x=\end{array}$$

• Komutativnost: velja $x\ast y=y\ast x$

$$\begin{array}{rl}x,y\in X& \to x\vee y=y\vee x\\ x,y\in X& \to xy=yx\end{array}$$

• Distributivnost: velja $x\ast (y\cdot z)=(x\ast y)\cdot (x\ast z)$

$$\begin{array}{rl}x,y,z\in X& \to x\vee (yz)=(x\vee y)(x\vee z)\\ x,y,z\in X& \to x(y\vee z)=xy\vee xz\end{array}$$

• Inverzni element: $x$ ima nevtralni element $y$, če velja $x\ast y=y\ast x=e$

$$\begin{array}{rl}\forall x\in X,\exists \overline{x}& \to x\vee \overline{x}=1\\ \forall x\in X,\exists \overline{x}& \to x\overline{x}=0\end{array}$$

• Število elementov: obstajata vsaj 2 elementa $x,y\in X$, da velja $x\ne y$

Pravila Boolove algebre

(Podobno kot pri zakoni izjavnega računa):

• Idempotenca:

$$\begin{array}{rl}x\vee x\vee ...\vee x& =x\\ xx...x& =x\end{array}$$

• Absorpcija:

$$\begin{array}{rl}x\vee xy& =x\\ x(x\vee y)& =x\end{array}$$

• Asociativnost:

$$\begin{array}{rl}(x\vee y)\vee z& =x\vee (y\vee z)\\ (xy)z& =x(yz)\end{array}$$

• DeMorganov izrek:

$$\begin{array}{rl}\overline{x\vee y\vee ...\vee z}& =\overline{x}\overline{y}...\overline{z}\\ \overline{xy...z}& =\overline{x}\vee \overline{y}\vee ...\vee \overline{z}\end{array}$$