Navor in vrtilna količina

Newtonov zakon za vrtenje

Iz 2. Newtonovega zakona se da za kroženje izpeljati navor - silo, ki prek ročice deluje na vrtišče:

$$\vec{M}=\vec{r}\times \vec{F}=J\vec{\alpha }$$

Medsebojne smeri vektorjev: $\vec{r}$ - palec, $\vec{F}$ - kazalec, $\vec{M}$ - sredinec
Smer vrtenja: $\vec{M}$ - palec desne roke, ostali prsti kažejo v smeri urinega kazalca (pozitivna) oz obratno (negativna)

$$\begin{array}{rl}A& =\vec{M}\cdot \vec{\phi }\\ P& =\vec{M}\cdot \vec{w}\end{array}$$

Vztrajnostni moment

Vztrajnostni moment je odvisen od oblike telesa in porazdelitve mase - več mase leži dlje od osi vrtenja, večji bo vztrajnostni moment:

Točkasto telo:

$$J=m{r}^2$$

Sistem teles:

$$J=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

Zvezna telesa:

$$J=\int dm{r}^2$$

Zvezna homogena telesa:

$$J=\int \rho r^{2}dV$$

Krogla: $J=\frac{2}{5}m{r}^2$
Disk: $J=\frac{1}{2}m{r}^2$
Pokončen valj: $J=\frac{1}{2}m{r}^2$
Ležeč valj okoli središča (osi): $J=\frac{1}{12}m{h}^2$
Ležeč valj okoli krajišča: $J=\frac{1}{3}m{l}^2$
Pokončen tulec: $J=m{r}^2$

Steinerjev izrek: pri premiku osi vrtenja za razdaljo $R$ se osnovni $J^{\ast }$ poveča (oddaljujemo od osnovnega) / pomanjša (približujemo se osnovnemu):

$$J=m{R}^2\pm J^{\ast }$$ $$W_k=\frac{1}{2}m{v}_t^2(1+\frac{J}{m{r}^2})$$

Energija vrtenja

$$\begin{array}{rl}A& =\int \vec{M}d\vec{\phi }\\ P& =\vec{M}\frac{d\vec{\phi }}{dt}=\vec{M}\vec{w}\\ A& =J\int \vec{\alpha }d\vec{\phi }=\Delta (\frac{1}{2}J{w}^2)\end{array}$$

Kotaljenje

$$\begin{array}{rl}w& =\frac{v_t}{R}\\ W_k& =\frac{1}{2}m{v}_t^2(1+\frac{J}{m{R}^2})\end{array}$$

Vrtilna količina

Podobno kot 2. Newtonov zakon - samo menjamo količine: $\vec{M}\to \vec{F}$, $J=m$, $\vec{\alpha }=\vec{a}$

$$\vec{M}=J\vec{\alpha }$$

Izrek o vrtilni količini (podobno kot gibalna količina, a pri vrtenju z navori)

$$\int \vec{M}dt=J\int \vec{\alpha }dt=J\vec{w}=\vec{\Gamma }$$ $$\vec{\Gamma }=\vec{r}\times \vec{G}=...=m{r}^2\vec{w}$$

Precesija

Način gibanja osno simetrične vrtavke (npr. giroskopa) pod vplivom zunanjega navora, denimo takrat, ko vrtavka ni podprta v težišču

$$\begin{array}{rl}\vec{\Gamma }& =J{\vec{w}}_0\\ {\vec{M}}_g& =\vec{r}\times {\vec{F}}_g\end{array}$$

$\vec{\Gamma }$ je ves čas pravokotna na ${\vec{M}}_g$ in opisuje krožnico