Funkcije

Funkcija: predpis (relacije), ki vsakemu elementu $x$ iz definicijskega območja $D_f\subset \mathbb{R}$ priredi natanko določeno število $f(x)\in \mathbb{R}$

Graf funkcije $f$ : krivulja v ravnini $G(x)=\{(x,f(x));x\in D_f\}\subset \mathbb{R}\times \mathbb{R}$
Graf funkcije seka poljubno navpično premico v največ eni točki.
Projekcija grafa na os $x$ je $D_f$, projekcija grafa na os $y$ pa $Z_f$

Podajanje predpisa funkcij:

• eksplicitno: $y=f(x)$ (npr. $y=\sqrt{1-x^2}$)
• implicitno: $F(x,y)=0$ (npr. $x^2+y^2-1=0$)
• parametrično: $x=x(t),y=y(t)$ (npr. $x=cos(t)$)

Operacije

• $x\mapsto f(x)+g(x)$ … vsota $f+g$
• $x\mapsto f(x)-g(x)$ … razlika $f-g$
• $x\mapsto f(x)\ast g(x)$ … produkt $fg$
• $x\mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ … kvocient $\frac{f}{g}$
• $(g\circ f)(x)=g(f(x));Z_f\subseteq D_g$ … kompozitum $f\circ g$

Transformacije

• $g(x)=f(x-a)$ … vodoravni premik za $|c|$
• $g(x)=f(x)+c$ … navpični premik za $|c|$
• $g(x)=f(\frac{x}{a})$ … vodoravni razteg/skrček za faktor $c$
• $g(x)=c\ast f(x)$ … navpični razteg/skrček za faktor $c$
• $g(x)=-f(x)$ … zrcaljenje preko $x$ osi
• $g(x)=f(-x)$ … zrcaljenje preko $y$ osi

Lastnosti

(Podobno kot pri preslikavah):

• soda: $f(-x)=f(x);\forall x\in D_f$
• liha: $f(-x)=-f(x);\forall x\in D_f$
• injektivna: različni točki $x_1\ne x_2\in D_f$ preslika v različni vrednosti $f(x_1)\ne f(x_2)\in Z_f$
• surjektivna: $Z_f=\mathbb{R}$
• bijektivna: injektivna in surjektivna

Inverzna funkcija: $f^{-1}(x)=y⟺f(y)=x$, $f$ mora biti injektivna
Izračun: zamenjamo vse $x$-e in $y$-e (dobimo $x=f(y)$) in izrazimo $y$ kot funkcijo $x$
Graf: prezrcalimo graf funkcije $f$ prekosimetrale lihih kvadrantov

Limite funkcij

Limita funkcije: ${\lim }_{x\to a}f(x)=b⟺\forall ϵ>0\exists \delta >0:\forall x\in (a-\delta ,a+\delta )$ velja $f(x)\in (b-ϵ,b+ϵ)$
Naraščanje preko vseh meja: ${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty$
Padanje pod vsako mejo: ${\lim }_{x\to a}f(x)=-\infty$

Zveznost funkcij

Funkcija $f$ je zvezna v $a\in D_f$, če $f(a)={\lim }_{x\to a}f(x)$
Primer nezvezne funkcije:

$$sgn(x)=\{\begin{array}{ll}1& ;x>0\\ 0& ;x=0\\ -1& ;x<0\end{array}$$

Lastnosti zveznosti:

• Vse elementarne funkcije (polinomi, eksponentne, trigonometrične, …) so zvezne
• Če sta $f$ in $g$ zvezni v $a\in D_f$:
  • je graf $f$ nepretrgana krivulja
  • sta zvezni $f+g$ in $f\ast g$
  • lahko zamenjamo vrstni red računanja limite v $a$ in vrednosti funkcije

Numerično reševanje enačb - iskanje ničel

Bisekcija - ideja: $f(a)\ast f(b)<0⟹f$ ima ničlo na $[a,b]$

1. Izberemo začetna približka $a$ in $b$, in naj velja $f(a)\ast f(b)<0$ (različno predznačena)
2. Induktivno izračunamo naslednje približke: $x_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}$ (vmesna točka med levo in desno mejo iskanja)
3. $f(x_{n+1})=0\to$ našli ničlo
   Sicer izberemo stran, pri kateri sta predznaka različna:
   $f(x_{n+1}\ast f(a_n)<0\to$ vzamemo $[a_n,x_{n+1}]$, saj je ničla nekje vmes
   $f(x_{n+1})\ast f(b_n)<0\to$ vzamemo $[x_{n+1},b_n]$, saj je ničla nekje vmes

Regula falsi - podobno bisekciji, drugačno (bolj optimalno) računanje približkov

1. Izberemo začetna približka $a$ in $b$, in naj velja $f(a)\ast f(b)<0$ (različno predznačena)
2. Induktivno izračunamo naslednje približke: $x_{n+1}=\frac{a_n\ast f(b_n)-b_n\ast f(a_n)}{f(b_n)-f(a_n)}$ (presečišče premice čez izbrani točki približkov in x osjo)
3. $f(x_{n+1})=0\to$ našli ničlo
   Sicer izberemo stran, pri kateri sta predznaka različna:
   $f(x_{n+1}\ast f(a_n)<0\to$ vzamemo $[a_n,x_{n+1}]$, saj je ničla nekje vmes
   $f(x_{n+1})\ast f(b_n)<0\to$ vzamemo $[x_{n+1},b_n]$, saj je ničla nekje vmes

Ta algoritem naj bi (ponavadi) našel ničlo hitreje kot pri bisekciji

Sekantna metoda - Regula falsi brez $f(a)\ast f(b)<0$

1. Izberemo naključna začetna približka $x_1$ in $x_2$
2. Induktivno izračunamo naslednje približke: $x_{n+1}=\frac{x_{n-1}\ast f(x_1)-x_n\ast f(x_{n-1})}{f(x_1)-f(x_{n-1})}$ (v bistvu delamo Taylorjevo aproksimacijo stopnje 1)
3. Upamo, da slednje konvergira k ničli

Navadna iteracija:

1. Določimo funkcijo $g$, katere negibna točka je ničla $f$
2. Upamo, da limita $g$ ničla $f$